2-SAT

2-SATを解きます。変数 $x_0, x_1, \cdots, x_{N - 1}$ に関して、

$(x_i = f) \lor (x_j = g)$

というクローズを足し、これをすべて満たす変数の割当があるかを解きます。

コンストラクタ

two_sat ts(int n)

$n$ 変数の2-SATを作ります。

制約

$0 \leq n \leq 10^8$

計算量

$O(n)$

add_clause

void ts.add_clause(int i, bool f, int j, bool g)

$(x_i = f) \lor (x_j = g)$ というクローズを足します。

制約

$0 \leq i \lt n$
$0 \leq j \lt n$

計算量

ならし $O(1)$

satisfiable

bool ts.satisfiable()

条件を足す割当が存在するかどうかを判定する。割当が存在するならばtrue、そうでないならfalseを返す。

制約

複数回呼ぶことも可能。

計算量

足した制約の個数を $m$ として

$O(n + m)$

answer

vector<bool> ts.answer()

最後に呼んだ satisfiable の、クローズを満たす割当を返す。satisfiable を呼ぶ前や、satisfiable で割当が存在しなかったときにこの関数を呼ぶと、中身が未定義の長さ $n$ の vectorを返す。

計算量

$O(n)$

使用例

AC code of https://atcoder.jp/contests/practice2/tasks/practice2_h

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#include <atcoder/twosat>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
using namespace atcoder;
int main() {
    int n, d;
    cin >> n >> d;
    vector<int> x(n), y(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> x[i] >> y[i];
    }
    // ts[i] = (i-th flag is located on x[i])
    two_sat ts(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            if (abs(x[i] - x[j]) < d) {
                // cannot use both of x[i] and x[j]
                ts.add_clause(i, false, j, false);
            }
            if (abs(x[i] - y[j]) < d) {
                ts.add_clause(i, false, j, true);
            }
            if (abs(y[i] - x[j]) < d) {
                ts.add_clause(i, true, j, false);
            }
            if (abs(y[i] - y[j]) < d) {
                ts.add_clause(i, true, j, true);
            }
        }
    }
    if (!ts.satisfiable()) {
        cout << "No" << endl;
        return 0;
    }
    cout << "Yes" << endl;
    auto answer = ts.answer();
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (answer[i])
            cout << x[i] << endl;
        else
            cout << y[i] << endl;
    }
    return 0;
}
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